Cookie Consent by Official Cookie Consent Penurunan rumus momen inersia berbagai benda (lengkap dengan penjelasannya) | FISIKA
Rabu, 29 Juli 2020

Penurunan rumus momen inersia berbagai benda (lengkap dengan penjelasannya)

Daftar Isi
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda (lengkap dengan penjelasannya)
Gambar 1. Momen inersia berbagai benda

Saat mempelajari materi dinamika rotasi, tentu kalian pernah melihat gambar di atas ,Tapi pernahkah kalian berpikir asal dari persamaan-persamaan di atas? Berdasarkan hasil literasi dari berbagai sumber yang ada , Pada kesempatan kali ini saya akan mencoba melakukan penurunan rumus momen inersia untuk berbagai benda di atas sehingga ditemukan rumus-rumus dan angka di atas.
Penurunan rumus momen inersia untuk berbagai benda di atas, pada dasarnya menggunakan persamaan umum momen inersia yang sudah pernah saya bahas di metari dinamika rotasi untuk kelas 11 yakni
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Persamaan di atas, merupakan persamaan dasar untuk semua jenis benda dengan massa yang terdistribusi kontinu, selain itu juga diperlukan konsep-konsep pendukung agar persamaan tersebut dapat menghasilkan rumus momen inersia untuk berbagai benda. Salah satu konsep matematis dasar yang perlu dipahami dalam menganalisis persoalan fisika adalah konsep perbandingan selain itu, Beberapa konsep lain khusus pembahasan ini yang menurut saya perlu dipahami antara lain

Konsep rapat massa

Konsep rapat massa yang saya maksudkan disini adalah kerapatan massa terhadap suatu besaran lain yakni rapat massa terhadap panjang (biasa disebut dengan satuan massa persatuan panjang). Ada tiga rapat massa yang perlu dipahami disini seperti yang ditunjukkan tabel berikut.
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Konsep rapat massa ini digunakan untuk mensubstitusi nilai “dm” pada persamaan umum di atas, perhatikan juga jenis bendanya (1 dimensi, 2 dimensi, atau 3 dimenssi).

Sistem koordinat silinder dan sistem koordinat bola

Koordinat silinder dan koordinat bola sangat penting untuk dipahami, karna sebagian besar benda yang akan diturunkan rumus momen inersianya adalah benda-benda dengan bentuk silinder dan bola seperti: silinder pejal, silinder berongga, bola pejal, bola berongga dll. benda-benda tersebut akan lebih mudah dianalisis menggunakan sistem koordinat silinder dan sistem koordinat bola. Berikut gambar dan transformasi kedua sistem tersebut

Sistem koordinat silinder

Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Gambar 2. Koordinat silinder

Sistem koordinat bola

Penurunan rumus momen inersia berbagai benda
Gambar 3. Koordinat bola

Teorema sumbu sejajar

Teorema sumbu sejajar dapat digunakan untuk menentukan momen inersia suatu benda ketika sumbu porosnya tidak terletak pada pusat massa tetapi sejajar dengan sumbu poros melalui pusat massanya, teorema untuk sudah saya bahas di materi dinamika rotasi. Secara matematis dapat ditulis
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Teorema sumbu tegak lurus

Teorema sumbu tegak lurus artinya sumbu poros yang tegak lurus sumbu melalui pusat massa yang tegak lurus penampang. Teorema ini memungkinkan menentukan momen inersia ketika sumbu porosnya tegak lurus penampang (sumbu z)dengan memanfaatkan momen inersia untuk poros tegak lurus lainnya (terhadap sumbu x dan sumbu y). Perhatikan gambar berikut

Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Gambar 4. Teorema sumbu tegak lurus

Iz = ∫ r2 dm
Iz = ∫ (x2 + y2) dm
Iz = ∫ x2 dm + ∫ y2 dm
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Berikut penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Batang silinder pejal

Penurunan rumus momen inersia berbagai benda (lengkap dengan penjelasannya)

Poros melalui titik pusat massanya

Perhatikan gambar berikut, untuk mempermudah menurunkan rumusnya

Penurunan rumus momen inersia berbagai benda (lengkap dengan penjelasannya)
Batang yang bermassa m dan memiliki panjang L dengan pusat massa berada di titik O (berada di sumbu y), tampak seperti gambar di atas. Tentukan terlebih dahulu elemen massanya (kotak warna kuning) yang memiliki ukuran dx dan berjarak x dari pusat massanya.
dm = λ dx
r = x
dengan batas integrasi
x : - ½ L sampai ½ L
sehingga
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Poros melalui salah satu ujung

Perhatikan kembali gambar di atas, jika sumbu poros di geser ke tepi (sumbu y’) maka kita dapat menggunakan teorema sumbu sejajar untuk menemukan momen inersianya, dimana sumbu poros bergeser sejauh ½ L
I = Ipm + md2
I = 1/12 mL2 + m( ½L)2
I = 1/12 mL2 + ¼ mL2
I = 1/12 mL2 + 3/12 mL2
I = 4/12 mL2
I = 1/3 mL2 (terbukti)

Pelat tipis

Penurunan rumus momen inersia berbagai benda (lengkap dengan penjelasannya)

Poros sepanjang tepi (salah satu sisinya)

Perhatikan gambar berikut
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Plat tipis yang bermassa m dan memiliki panjang dan lebar berturut-turut adalah b dan a. Jika pelat tersebut diputar dengan poros sejajar salah satu sisi (b) melewati titik pusat massanya (p), maka untuk menentukan momen inersianya pertama-tama kita tentukan terlebih dahulu elemen massa dm yang memiliki panjang b dan lebar dy terletak sejauh y dari poros yang tampak seperti gambar di atas. Sehingga dapat kita tulis dm = λ dy
r = y
dengan batas integrasi
y : - ½ a sampai ½ a
sehingga
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Dengan cara yang sama kita dapat menentukan momen inersia ketika porosnya sejajar dengan sisi a dan melewati titik pusat massanya yakni sebesar
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Poros di pusat massanya dan tegak lurus bidang

Momen inersia pelat dengan sumbu poros di pusat massanya dan tegak lurus lurus bidang dapat ditentukan dengan menggunakan teorema sumbu tegak lurus
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Berdasarkan gambar di atas, maka dapat kita ketahui bahwa momen inersia pada sumbu y sama dengan momen inersia pada pers (1) dan momen inersia pada sumbu x sama dengan momen inersia pada pers (2) sehingga dapat kita tuliskan
Iz = Ix + Iy
Iz = 1/12 mb2 + 1/12 ma2
Iz = 1/12 m (a2 + b2) (terbukti)

Poros sepanjang tepi (salah satu sisinya)

Momen inersia pelat sepanjang tepi salah satu sisinya dapat ditentukan dengan menggunakan teorema sumbu sejajar, dimana poros sejajar dan bergeser sejauh ½ a dari poros dipusat massanya (pers. 2), maka dapat kita tuliskan
I = Ipm + md2
I = 1/12 ma2 + m( ½a)2
I = 1/12 ma2 + ¼ ma2
I = 1/12 ma2 + 3/12 ma2
I = 4/12 ma2
I = 1/3 ma2 (terbukti)

Silinder

Penurunan rumus momen inersia berbagai benda (lengkap dengan penjelasannya)

Silinder berongga
Sebuah silinder yang bermassa m dan panjang L memiliki lubang di tengah-tengahnya dengan jari-jari seperti tampak pada gambar a. jika silinder tersebut berotasi dengan sumbu poros melalui pusat massanya, maka momen inersianya dapat ditentukan sebagai berikut dm = ρ dV
dm = ρ r dr dθ dz (sistem koordinat silinder)
dengan batas integrasi
r : R1 sampai R2
θ : 0 sampai 2π
z : 0 sampai L

Sehingga
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Silinder pejal

Momen inersia silinder pejal dapat ditentukan ketika nilai R1 pada persamaan (3) sama dengan nol dan R2 sama dengan R (jari-jari silinder), sehingga dapat ditulis
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Silinder tipis berongga

Momen inersia silinder tipis berongga dapat ditentukan ketika nilai R1 = R2 = R, silinder hanya memiliki kulit tipis. Maka persamaan (3) dapat ditulis.
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Bola

Penurunan rumus momen inersia berbagai benda (lengkap dengan penjelasannya)


Bola pejal dengan poros melalui pusat massa
Momen inersia bola pejal dengan poros melalui pusat massa, dapat ditentukan dengan menggunakan sistem koordinat bola sehingga elemen massanya dapat ditulis sebagai berikut
dm = ρ dV
dm = ρ r2 sin θ dr dθ dϕ (koordinat bola)
r = r sin θ
dengan batas integrasi
r : 0 sampai R
θ : 0 sampai π
ϕ : 0 sampai 2π
Sehingga
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda (lengkap dengan penjelasannya)

Bola pejal dengan poros di tepi

Momen inersia bola pejal dengan poros di tepi dapat ditentukan dengan teorema sumbu sejajar dengan poros bergeser sejauh R dari poros pusat massanya, sehingga
I = Ipm + md2
I = 2/5 mR2 + m(R)2
I = 2/5 mR2 + mR2
I = 7/5 mR2 (terbukti)

Bola tipis berongga

Momen inersia bola tipis berongga yang dimaksudkan disini adalah sebuah bola yang terlapisi oleh sebuah kulit tipis (seperti bola pingpong), maka dalam menentukan nilai elemen massa (dm) tidak menggunakan volume akan tetapi luas permukaan bola.
dm = σ r2 sin θ dθ dϕ dA
r = r sin θ
dengan batas integrasi
θ : 0 sampai π
ϕ : 0 sampai 2π
sehingga
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Ekstra TIme

Segitiga

Sebuah segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi sebesar a diputar dengan poros berada pada satu sisi, tampak seperti gambar berikut
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Elemen massa diambil lebar dy dan berjarak y dari sumbu poros. Karena nilai p berubah untuk setiap perubahan y maka, nilai p dapat ditentukan dengan persamaan
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

dm = σ dA (dA = p dy)
dm = σ p dy
r = y
dengan batas integrasi
y : 0 sampai h
sehingga
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Kerucut

Tentukan momen inersia sebuah kerucut yang memiliki tinggi h sama dengan jari-jari alasnya r (h=r) yang diputar dengan sumbu poros z tampak seperti gambar berikut
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda (lengkap dengan penjelasannya)

Untuk menentukan momen inersia kerucut di atas, pertama-tama perlu diketahui bahwa kerucut tersebut terbentuk dengan menarik luasan alas (lingkaran) dari z = 0 sampai z = h. Setiap perubahan h jari-jarinya juga berubah dari r = 0 sampai r = h, sehingga dapat dikatakan batas untuk jari-jari tersebut adalah dari r = 0 sampai r = z. Selain itu, kita harus menggunakan sistem koordinat silinder untuk menentukan elemen massanya yang dapat dituliskan dm = ρ r dr dθ dz
r = r
dengan batas integrasi
r : 0 sampai z
θ : 0 sampai 2π
z : 0 sampai h
sehingga
Penurunan rumus momen inersia berbagai benda

Demikian penurunan rumus momen inersia untuk berbagai benda, semoga dapat menambah pengetahuan para pembaca dan tidak membingungkan. Jika ada kritik dan saran bisa tinggalkan komentarnya di bawah.Agar pemahamannya lebih lengkap perlu diketahui Materi ini hanya sebagian dari materi fisika dinamika rotasi 


2 komentar:

  1. wah materinya sangat membantu sekali, terima kasih

    BalasHapus
  2. Sama-sama, semoga bermanfaat

    BalasHapus

Mode Malam