Penurunan rumus koefisien restitusi (e) | konsep fisika

Dalam materi tentang impuls momentum, kita mengenal sebuah istilah yang disebut dengan “koefisien restitusi” yang mana koefisien restitusi merupakan negatif perbandingan antara kecepatan relatif sesaat sesudah tumbukan dengan kecepatan relatif sesaat sebelum tumbukan pada tumbukan satu dimensi. Selain itu dapat pula di katakan bahwa koefisien restitusi menunjukkan “tingkat terpantul” benda setelah tumbukan, semakin besar koefisien restitusinya maka tingkat terpantulnya juga akan semakin besar jadi kedua benda setelah bertumbukan akan semakin terpantul atau kehilangan energi kinetiknya semakin kecil, sebaliknya semakin kecil koefisien restitusinya maka tingkat terpantul benda setelah tumbukan semakin kecil atau kehilangan energi kinetiknya akan semakin besar. nilai koefisien restitusi terbesar adalah 1 dan terkecil adalah 0, berdasarkan nilai koefisien restitusi ini kita dapat membedakan tumbukan menjadi tiga jenis yakni tumbukan lenting sempurna, tumbukan lenting sebagian, dan tumbukan tidak lenting sama sekali.
Tumbukan lenting sempurna memiliki nilai koefisien restitusi paling besar yaitu bernilai 1 (e = 1) hal ini menunjukkan benda setelah bertumbukan akan saling terpantul dengan maksimal dan tidak ada kehilangan energi kinetik sehingga pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekekalan energi kinetik, tumbukan lenting sebagian memiliki nilai koefisien restitusi yang bervariasi antara 0 sampai 1 (0 < e < 1) yang mana pengaruh besar kecilnya koefisien restitusi ini sudah di jelaskan di atas, sedangkan untuk tumbukan tidak lenting sama sekali memiliki nilai koefisien restitusi sama dengan 0 (e = 0) hal ini menunjukkan kedua benda setelah bertumbukan tidak akan terpantul, akan tetapi bergerak bersama – sama. untuk lebih memahami materi tentang tumbukan bisa di baca di sini.

Persamaan untuk koefisien restitusi dapat diturunkan dengan menggunakan konsep hukum kekekalan energi kinetik dan hukum kekekalan momentum, misalkan untuk dua benda A dan B yang masing – masing bergerak dengan kecepatan v_A dan v_B. keduanya bertumbukan secara lenting sempurna sehingga kecepatan keduanya menjadi v’_A dan v’_B, Kita dapat menganalisis fenomena di atas dengan menggunakan hukum kekekalan energi kinetik dan hukum kekekalan momentum.
Hukum kekekalan momentum
p_A + p_B = p’_A + p’_B
m_A v_A + m_B v_B = m_A v’_A + m_B v’_B
m_A v_A - m_A v’_A = m_B v’_B - m_B v_B
m_A (v_A - v’_A) = m_B (v’_B - v_B) ... (1)

Hukum kekekalan kekekalan energi kinetik
EK_A + EK_B = EK’_A + EK’_B
½ m_A v_A² + ½ m_B v_B² = ½ m_A v’_A² + ½ m_B v’_B²
m_A v_A² – m_A v’_A² = m_B v’_B² – m_B v_B²
m_A (v_A² – v’_A²) = m_B (v’_B² – v_B²) ... (2)

pers (2) di bagi dengan pers (1)

Angka “1” di atas menunjukkan nilai koefisien restitusi untuk tumbukan lenting sempurna, sehingga secara umum persamaan koefisien restitusi untuk tumbukan adalah sebagai berikut.

Ketika terjadi tumbukan tidak lenting sama sekali, kedua benda setelah bertumbukan tidak terpantul dan bergerak bersama – sama sehingga kecepatan keduanya setelah bertumbukan adalah sama (v’_B = v’_A), maka persamaan koefisien restitusinya dapat kita tulis.

Kasus lain terkait dengan tumbukan dan koefisien restitusi selain pada dua benda yang bergerak horizontal di atas lantai adalah terkait dengan benda jatuh bebas ke lantai kemudian memantul. Misalkan sebuah bola bermassa m dijatuhkan tanpa kecepatan awal dari ketinggian h di atas lantai kemudian bola tersebut memantul beberapa kali seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini

Pada saat bola jatuh bebas ke bawah berlaku hukum kekekalan energi sehingga kita dapat menentukan kecepatan benda sesaat sebelum bertumbukan dengan lantai seperti berikut
EP = EK
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
v² = 2gh
v = √2gh ... (1)
dengan menggunakan cara yang sama seperti di atas, maka kita dapat menentukan hubungan antara kecepatan di dasar dengan ketinggian seperti berikut
v = √2gh
v₁ = √2gh₁
v₂ = √2gh₂
tumbukan terjadi antara bola dengan lantai (v_L = 0), misalkan untuk tumbukan pertama sebuah bola yang jatuh dari ketinggian h memantul ke lantai hingga ketinggian h₁ kemudian turun dan memantul hingga naik lagi hingga h₂. Untuk pemantulan pertama kita dapat menentukan koefisien restitusinya yakni

Dengan cara yang sama untuk pantulan ke dua, kita dapat menentukan koefisien restitusinya adalah

Sehingga secara umum kita dapat menuliskan untuk gerak pantulan seperti ini berlaku