Materi fisika kelas 10 : vektor (Lengkap dengan contoh soal)

Daftar IsiMateri fisika kelas 10 : vektor (Lengkap dengan contoh soal)

• Karakteristik Vektor
• Pengertian vektor
• Menulis dan menggambar vektor
• Komponen vektor dan vektor satuan
• Resultan Vektor
• Resultan vektor dengan metode melukis
• Resultan vektor dengan metode analitis
• Pengaruh perubahan sumbu koordinat terhadap vektor

Gambar 1. Papan penunjuk jalan

Gambar 1 di atas merupakan salah satu tanda yang sering kita lihat ketika bepergian yang digunakan agar orang yang melintasi jalan tersebut tidak tersesat dan bisa sampai ke tujuan dengan benar. Papan tersebut pada dasarnya menunjukkan arah ke mana kita harus pergi, mengetahui arah merupakan sesuatu yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari, bayangkan Orang yang sedang bepergian akan kesulitan menuju tempat tujuannya jika tidak ada penunjuk jalan yang menunjukkan arahnya. Dalam pembelajaran fisika materi tentang arah termasuk dalam materi kelas 10 yakni “vektor” membahas tentang besaran-besaran fisika yang memiliki arah. Pentingnya “arah” memang tak dapat dipungkiri lagi bagi kehidupan sehari-hari tanpa adanya arah kita akan kesulitan untuk mengetahui posisi kita dan posisi tujuan kita, dengan mengetahui arah kita tidak akan tersesat. bahkan jika tidak ada arah mungkin tidak akan ada yang namanya GPS “global positioning system” karena pada dasarnya GPS menggunakan sistem koordinat untuk posisi kita dan posisi tujuan sehingga dapat menemukan arah yang tepat untuk menuju lokasi tujuan tersebut. Oleh karena itu setelah mengetahui manfaat “arah” dalam kehidupan sehari-hari, silahkan mempelajari materi berikut ini.

Karakteristik Vektor

Tidak semua besaran di fisika dapat disebut dengan besaran vektor ada beberapa karakteristik dari besaran vektor tersebut yang dapat ditinjau dari: pengertian vektor, menulis dan menggambar vektor, vektor satuan.

Pengertian vektor

Vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah (berbeda dengan besaran skalar yang hanya memiliki nilai saja). Cara menentukan suatu besaran fisika termasuk besaran vektor atau bukan sebenarnya cukup sederhana yakni dengan memberikan kalimat tanya “kemana atau dimana” pada besaran tersebut jika besaran tersebut cocok (tidak asing terdengar) maka besaran tersebut termasuk besaran vektor, contohnya “kemana ia akan pindah rumah?”, kalimat tanya ini sebenarnya menanyakan arah dan posisi dari tujuan pindah dan sering kita dengar, sehingga perpindahan termasuk besaran vektor. misalkan ada pertanyaan “kemana jaraknya rumahmu ke sekolah?” kalimat tanya ini terdengar asing, karena memang tidak cocok antara kalimat tanya kemana dengan besaran jarak, besaran jarak lebih cocok menggunakan kalimat tanya berapa, sehingga jarak termasuk besaran skalar. 

Perpindahan dan jarak memang sering digunakan dalam fisika, tidak sedikit siswa yang biasanya kesulitan membedakan antara perpindahan dan jarak karena di beberapa kasus sering terjadi jarak = perpindahan. Untuk dapat membedakan antara jarak dan perpindahan perhatikan gambar berikut.

Gambar 2. Sebuah partikel bergerak dari A ke B dengan lintasan yang ditempuh sesuai dengan garis merah

Berdasarkan gambar 2 di atas, jarak merupakan panjang lintasan yang ditempuh (garis merah putus-putus) sedangkan perpindahan merupakan jarak terpendek dari posisi awal (A) ke posisi akhir (B) yang ditunjukkan dengan garis biru dengan arah 60⁰ terhadap garis horizontal. Berdasarkan ilustrasi di atas terlihat perbedaan yang cukup signifikan antara jarak dan perpindahan. Beberapa besaran lain yang sering ditemui di fisika yang memiliki kemiripan antara besaran skalar dan vektor antara lain dapat dilihat pada tabel di bawah ini

Penting!
Arah dalam besaran vektor dapat dinyatakan dalam berbagai cara, antara lain sudut, arah mata angin, atas, bawah, ke kiri, ke kanan, dll. Arah vektor juga menentukan ketika dilakukan perhitungan matematis beberapa vektor, vektor yang searah dijumlahkan, sedangkan vektor yang berlawanan arah akan dikurangi.

Menulis dan menggambar vektor

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai (besar) dan arah sehingga memiliki cara tersendiri dalam penulisan maupun penggambarannya. Cara penulisan besaran vektor sedikit berbeda dengan penulisan besaran skalar. Misalkan kita akan menulis sebuah vektor “A” pada beberapa buku terdapat beberapa cara dalam menuliskan besaran vektor yakni 

• Simbol vektor di cetak tebal
Sehingga penulisan vektor “A” adalah “A”

• Simbol vektor di cetak tebal dan miring
Sehingga penulisan vektor “A” adalah “A”

• Simbol vektor di cetak tebal, miring dan diberi tanda arah di atasnya
Sehingga penulisan vektor “A” adalah “\vec{\mathbit{A}}”

• Simbol vektor di beri tanda arah di atasnya
Sehingga penulisan vektor “A” adalah “\vec{A}”

Cara penulisan seperti pada point 1 sampai 3 biasanya digunakan pada buku-buku pelajaran karena ada fasilitas untuk bold dan italic sedangkan jika menulis di papan tulis atau buku tulis dapat menggunakan cara ke 4. Besarnya (nilai) suatu besaran vektor dapat dituliskan dengan cara memberikan tanda “mutlak” seperti ini “∣A∣” atau ditulis biasa seperti ini “A”.

Besaran vektor biasanya digambarkan dengan anak panah dengan panjang anak panah menggambarkan besar vektor dan arah anak panah menggambarkan arah vektor. perhatikan gambar berikut.

Gambar 3. Beberapa gambar vektor

Berdasarkan gambar 3 di atas terlihat bagian-bagian vektor dari sebuah anak panah pada vektor A, perhatikan gambar vektor B dan vektor C memiliki arah yang sama (ke kiri) tapi vektor C lebih besar dari pada vektor B (ditunjukkan dengan panjangnya yang berbeda), sedangkan untuk vektor B dan vektor D memiliki besar yang sama tetapi arahnya berlawanan (ditunjukkan oleh arah anak panah).

Komponen vektor dan vektor satuan

Komponen vektor merupakan salah salah satu cara yang digunakan untuk mengalisis sebuah vektor dalam sistem koordinat (dalam kesempatan kali ini digunakan sistem koordinat kartesian (x,y,z)) sehingga sebuah vektor pada dasarnya memiliki komponen dalam arah sumbu x, sumbu y maupun sumbu z. Misalkan untuk sistem koordinat (x,y) dalam menentukan komponen suatu vektor menggunakan aturan trigonometri sederhana (sinus, cosinus, tangen). Perhatikan gambar berikut

Gambar 4. Trigonometri untuk sinus, cosinus, tangen, pada segitiga siku-siku

Dengan menggunakan aturan trigonometri sederhana di atas, kita dapat menentukan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut α dan sudut β seperti yang terlihat pada tabel berikut

Berdasarkan tabel di atas, jika kita perhatikan lebih jauh maka akan terlihat pada dasarnya nilai tangen merupakan hasil pembagian antara nilai sinus dan cosinusnya.

Menganalisis suatu vektor dengan menggunakan komponen vektor sangat penting untuk dipahami, karena komponen vektor merupakan salah satu materi dasar yang nantinya akan terus digunakan pada materi-materi fisika selanjutnya. Misalkan sebuah vektor A digambarkan dalam sistem koordinat kartesian (x,y) seperti terlihat pada gambar berikut

Gambar 5. Sebuah vektor A digambarkan dalam bidang x – y dengan membentuk sudut α terhadap sumbu x

Vektor A yang digambarkan membentuk sudut α terhadap sumbu x, vektor A tersebut, dapat di proyeksikan terhadap sumbu x dan sumbu y sehingga memiliki komponen vektor Ax dan Ay yang dapat ditentukan dengan trigonometri di atas seperti berikut.
A_x = A cos α
A_y = A sin α
Kedua komponen vektor di atas bernilai positif karena arahnya sesuai dengan arah sumbu x positif dan arah sumbu y positif, selain itu komponen vektor juga dapat bernilai negatif jika arahnya sesuai dengan arah sumbu x negatif dan arah sumbu y negatif (perhatikan arah tanda panahnya, untuk sumbu x ke kanan bernilai positif dan ke kiri bernilai negatif. Untuk sumbu y ke atas bernilai positif dan ke bawah bernilai negatif). Hubungan antara vektor dan komponen vektor seperti pada gambar di atas secara vektor dapat ditulis A = A_x + A_y.
Berdasarkan komponen vektor kita dapat juga mengetahui besar dan arah vektor utamanya, misalkan untuk vektor komponen A_x dan A_y di atas dapat kita tentukan besar dan arah vektor A (arah ditunjukkan dengan besar sudutnya) sebagai berikut.

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa komponen vektor ditinjau dari sistem koordinat kartesian, masing-masing sumbu koordinat memiliki ciri khas tersendiri yang disebut dengan vektor satuan, seperti yang terlihat pada tabel berikut

Arah vektor satuan ini sesuai dengan arah sumbunya, perhatikan gambar berikut

Gambar 6. (a) arah komponen vektor pada koordinat kartesian, (b) proyeksi vektor A terhadap sumbu x dan sumbu y dengan vektor satuan

Vektor satuan juga menunjukkan bahwa suatu besaran adalah besaran vektor dalam komponen sumbu tertentu, sehingga jika ada penulisan menggunakan vektor satuan maka besaran tersebut merupakan besaran vektor dan penulisan Ax dan Ay menyatakan besar (nilai dari besarannya), sehingga dengan menggunakan vektor satuan vektor A pada gambar 6b dapat ditulis

Contoh soal
1) Seorang pejalan kaki berjalan sejauh 5,0 km ke timur dan 12,0 km ke selatan. Tentukan besar dan arah perpindahan pejalan kaki tersebut.

pembahasan soal:

Untuk mempermudah mengerjakan soal tersebut, kita ilustrasikan Misalkan pejalan kaki berjalan dari titik P menuju titik P’ dengan menempuh jarak 5,0 km ke timur kemudin 12,0 km ke selatan seperti ditunjukkan oleh gambar berikut

Berdasarkan gambar di atas kita dapat menentukan komponen perpindahan terhadap sumbu x (Sx) adalah 5,0 m dan komponen perpindahan terhadap sumbu y (Sy) adalah 12,0 m, sehingga besarnya perpindahan dengan menggunakan persamaan

Arah perpindahan pejalan kaki dapat ditentukan dengan mencari besar sudut α melalui persamaan

Jadi pejalan kaki melakukan perpindahan sebesar 13 m dengan arah 67,4⁰ ke arah tenggara (dari timur ke selatan)

2) perhatikan gambar berikut

Sebuah bagian dari mesin dinaikkan melalui papan miring dan menempuh jarak sejauh d = 12 m dengan papan membentuk sudut θ = 30⁰ terhadap lantai. Tentukan berapa jauh perpindahan yang dilakukan oleh bagian mesin tersebut secara vertikal dan horizontal!

pembahasan soal:

Perpindahan bagian mesin secara vertikal dan horizontal pada dasarnya adalah komponen perpindahan benda tersebut terhadap sumbu x (Sx) dan terhadap sumbu y (Sy). komponen perpindahannya dapat ditentukan dengan cara
S_x = S cos θ
S_x = 12 cos 30⁰
S_x = 12 (½ √3)
S_x = 6√3 m
S_y = S sin θ
S_y = 12 sin 30⁰
S_y = 12 (½)
S_y = 6 m

Resultan Vektor

Resultan vektor merupakan cara untuk menentukan total vektor dari beberapa vektor. Beberapa buku mengatakan bahwa resultan vektor sama dengan penjumlahan vektor, menggunakan istilah ini lebih riskan dan berpotensi terjadi miskonsepsi dalam mengerjakan soal. Hal ini dikarenakan kata penjumlahan merujuk pada “ditambah” jadi dianggap penjumlahan vektor adalah semua vektor ditambah saja, padahal vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah jadi ketika ingin mencari total vektor perlu dipertimbangkan arahnya, jika vektor-vektornya searah maka akan dijumlah, tapi jika berlawanan arah akan dikurangi, hal ini akan mempengaruhi hasil perhitungan pada akhirnya. Oleh karena itu saya lebih suka menggunakan resultan vektor sebagai total vektor bukan penjumlahan vektor karena perlu mempertimbangkan arahnya.

Resultan vektor dapat ditentukan dengan dua metode yakni dengan metode melukis atau menggambarnya dan dengan metode analitis

Resultan vektor dengan metode melukis

Menentukan resultan vektor dengan metode melukis ini terbagi menjadi dua cara lagi yakni metode poligon dan metode jajargenjang.

Konsep :

Dalam menggunakan metode melukis persamaan matematis dari resultan vektor akan mempengaruhi gambar dan hasilnya, misalkan dua vektor A dan B akan ditentukan resultan vektor dengan persamaan vektor C = A + B dan dengan persamaan C = A – B akan menghasilkan gambar yang berbeda dan hasil yang berbeda, karena vektor B tidak sama dengan vektor -B yang membedakan adalah arahnya tanda negatif (-) menunjukkan arahnya berlawanan dengan arah vektor semula, sehingga dalam menggambarnya arahnya perlu dibalik terlebih dahulu. Perhatikan gambar berikut

Gambar 7. Perbedaan antara vektor B dengan vektor -B

Metode poligon

Prinsip resultan vektor dengan menggunakan metode poligon ini pada dasarnya adalah “meneruskan” vektor-vektor yang akan ditentukan resultannya kemudian mencari jarak terdekat dari posisi awal ke posisi akhirnya (ditarik garis lurus). Meneruskan yang dimaksud disini adalah menghubungkan ujung (arah panah) vektor pertama dengan pangkal vektor kedua, ujung vektor kedua dengan pangkal vektor ketiga begitu seterusnya. Perhatikan gambar berikut

Gambar 8. Menentukan resultan vektor dengan metode poligon

Gambar 8 merupakan contoh cara menentukan resultan vektor dengan metode poligon. Mula-mula ada 4 vektor masing-masing adalah A, B, C, dan D yang memiliki besar dan arah seperti ditunjukkan oleh gambar 8a. gambar 8b menunjukkan resultan vektor dengan persamaan R = A + B + C + D, tidak ada vektor yang bernilai negatif (berbalik arah), gambar 8c menunjukkan resultan vektor dengan persamaan R = A - B + C + D, vektor B bernilai negatif karena arahnya berlawanan dengan arah mula-mula, gambar 8d menunjukkan resultan vektor dengan persamaan R = A + B - C + D, vektor C bernilai negatif karena arahnya berlawanan dengan arah mula-mula, gambar 8e menunjukkan resultan vektor dengan persamaan R = A - B - C – D, selain vektor A, semua vektor bernilai negatif karena arahnya berlawanan dengan arah mula-mula.

Jurus jitu
Untuk tipe soal yang menggunakan metode poligon, jika merasa kesulitan dengan cara seperti di atas, kalian boleh menggambar semua vektor dimulai dari titik koordinat (0,0) kemudian mencari resultan dalam arah sumbu x dan sumbu y dan terakhir menentukan resultannya dengan persamaan phytagoras. Silahkan dilihat soal nomor 2 disini.

Metode jajargenjang

Metode jajargenjang agak berbeda dengan metode poligon, jika pada metode poligon meneruskan, maka pada metode jajarrgenjang vektor-vektor yang akan dicari resultannya digambar dari titik awal yang sama, kemudian digandakan sehingga membentuk bangun jajargenjang (sesuai dengan nama metodenya). Jarak diagonal pada bangun jajargenjang yang terbentuk adalah resultan dari vektor-vektor tersebut. metode jajargenjang ini lebih mudah digunakan apabila ada dua vektor yang akan dicari resultannya. Berikut contoh penggunaan metode jajargenjang

Gambar 9. Menentukan resultan vektor dengan metode jajargenjang

Gambar 9 merupakan contoh menentukan resultan vektor dengan metode jajargenjang, misalkan mula-mula untuk vektor A dan B yang terlihat seperti gambar 9a. gambar 9b merupakan resultan kedua vektor untuk persamaan R = A + B, gambar 9c merupakan resultan kedua vektor untuk persamaan R = A - B, gambar 9d merupakan resultan kedua vektor untuk persamaan R = (-A) + B.

Resultan vektor dengan metode analitis

Menentukan resultan vektor dengan metode analitis adalah bagaimana cara menentukan resultan vektor dengan menggunakan persamaan-persamaan matematis. Operasional matematis tetap berlaku saat menentukan resultan vektor, beberapa di antaranya antara lain

Penjumlahan vektor berlaku sifat komutatif

Misalkan ada dua vektor a dan b untuk menentukan resultannya dengan jumlahkan maka untuk menjumlahkannya bisa dilakukan dengan dua cara yakni a + b atau b + a hal ini tidak akan mempengaruhi hasil perhutingannya

sifat komutatif ini juga bisa ditunjukkan dengan metode melukis seperti pada gambar berikut

Gambar 10. Dua vektor a dan b bisa dijumlahkan dengan dua cara (sifat komutatif)
(Sumber: fundamentals of physics)

Penjumlahan vektor berlaku sifat asosiatif

Penjumlahan lebih dari dua vektor dapat dilakukan dengan cara mengelompokkannya terlebih dahulu. Misalkan ada 3 vektor a, b, dan c ingin ditentukan resultan vektornya dengan cara mengelempokkan terlebih dahulu maka cara mengelempokkannya dapat dilakukan dengan dua cara bisa (a+b) + c atau a+(b+c) hal ini tidak akan mempengaruhi hasil perhitungannya.

Sifat asosiatif ini bisa juga ditunjukkan dengan menggunakan metode melukis seperti yang terlihat pada gambar berikut

Gambar 11. Tiga vektor a, b, dan c dapat dikelompokkan dengan cara yang berbeda ketika ditambahkan (sifat asosiatif)
(sumber: fundamentals of physic)

Pengurangan vektor

Pengurangan vektor yang dimaksud disini bukan seperti pengurangan vektor pada soal matematika biasa seperti 5 – 4, akan tetapi pengurangan vektor disni terjadi karena arah dari vektor-vektornya berlawanan, jangan lupa bahwa vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah, sehingga arah dari sebuah vektor akan mempengaruhi persamaan matematis dari resultan vektor. perhatikan gambar berikut

Gambar 12. Vektor b dan -b memiliki besar yang sama tapi berlawanan arah 

(sumber: fundamentals oh physics)

Vektor -b adalah sebuah vektor yang memiliki besar sama dengan vektor b akan tetapi berlawanan arah dengan vektor b seperti yang terlihat pada gambar 12 di atas, jika kedua vektor tersebut dijumlahkan maka kita dapat menulis b + (-b) = 0, melukiskan resultan vektor dalam bentuk negatif dapat dilakukan dengan dua cara seperti yang terlihat pada gambar berikut!

Ingatlah!
berdasarkan penjelasan di atas, maka dapat mengetahui bahwa tanda negatif (-) dalam vektor bukan sekedar untuk mengurangi tapi tanda negatif juga menunjukkan arah vektor yang berlawanan.

Gambar 13. Cara melukis resultan vektor untuk vektor bernilai negatif (a) vektor -B merupakan kebalikan dari vektor B yang memiliki besar sama tapi berlawanan arah, terapkan konsep metode poligon sehingga kita kan mendapatkan persamaan C = A – B. (b) cara kedua yakni dengan menggambar vektor B dari vektor A
(sumber: physics for scientist and engineers)

Menentukan besar resultan dua vektor dengan aturan cos

Menentukan besar resultan dengan cara ini dapat digunakan apabila ada dua vektor yang membentuk sudut apit tertentu. Perhatikan gambar berikut ini

Gambar 14. Menentukan resultan dua vektor A dan B

Apabila terdapat dua vektor A dan B, membentuk sudut apit diantara keduanya sebesar α sehingga untuk menentukan resultan keduanya terlihat seperti gambar 14a (dengan menggunakan metode jajargenjang). Sekarang kita mencoba menentukan besar resultan vektor tersebut dengan cara membuat salah satu vektor sebagai sumbu x kemudian vektor lainnya diproyeksikan terhadap sumbu x (gambar 14b), maka besar resultannya dapat ditentukan dengan cara, Menentukan resultan masing-masing sumbu terlebih dahulu, beru kemudian dilanjutkan dengan rumus phytagoras
gambar 14a

Pada beberapa buku, aturan cosinus ditulis seperti di atas, padahal tidak selalu seperti di atas bentuk persamaannya. Hal ini bergantung pada arah vektor yang digambarkan. untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut

Gambar 15. Menentukan resultan dua vektor B dan A

Perbedaan antara gambar 15a dengan gambar 14a terletak pada arah vektor B, sehingga memberikan dampak pada proyeksinya terhadap vektor A yang terlihat pada gambar 15b, maka resultan vektornya dapat ditentukan dengan cara yang sama untuk gambar 14 yakni
gambar 15a

Perhatikan persamaan di atas, terlihat adanya perbedaan dengan persamaan sebelumnya, hal ini menunjukkan bahwa ketika arah vektornya berubah, maka persamaannya juga mengalami perubahan.

Resultan vektor komponen

Pada dasarnya untuk menentukan resultan vektor yang terdiri dari vektor komponennya tidak jauh berbeda dengan menentukan resultan vektor seperti biasa. Akan tetapi karena diketahui vektor komponennya (dalam sumbu x dan sumbu y) maka operasional matematikanya harus sesuai, untuk operasional penjumlahan (atau pengurangan) dikhususkan untuk vektor komponen yang satu sumbu koordinat, sedangkan resultan vektor antara sumbu x dan sumbu y dapat digunakan metode poligon, jajargenjang, atau aturan cosinus.

Misalkan dua buah vektor masing-masing A = A_xi + A_yj dan B = B_xi + B_yj, akan ditentukan besar resultannya maka yang harus dilakukan adalah menjumlahkan masing-masing komponen vektornya secara terpisah seperti berikut

R = A + B

R = (A_x + B_x)i + (A_y + B_y)j

R = R_xi + R_yj (R_x = A_x + B_x dan R_y = A_y + B_y)

Besarnya resultan vektor (R) dan arahnya (α) dapat ditentukan dengan cara

Hasil persamaan di atas sesuai dengan jika menentukan resultan vektor menggunakan metode poligon seperti gambar berikut

Gambar 16. Menentukan vektor resultan dari vektor A dan B

(sumber: physics university)

Penjelasan di atas, juga berlaku jika vektor berada pada sumbu koordinat (x, y, z) misalkan dua buah vektor masing-masing A = A_xi + A_yj + A_zk dan B = B_xi + B_yj + B_zk, akan ditentukan besar resultannya maka yang harus dilakukan adalah menjumlahkan masing-masing komponen vektornya secara terpisah seperti berikut
R = A + B
R = (A_x + B_x)i + (A_y + B_y)j + (A_z + B_z)k
R = R_xi + R_xj + R_zk (R_x = A_x + B_x , R_y = A_y + B_y dan R_z = A_z + B_z)

Contoh Soal
1) dua buah vektor disajikan dalam unit vektor sebagai berikut!
a = (4 m)i – (3 m)j + (1 m)k
b = (-1 m)i + (1 m)j + (4 m)k
tentukan resultan vektornya untuk (a) a + b, (b) a - b, dan (c) vektor c jika a - b + c = 0

pembahasan soal:

(a) a + b
R = a + b
R = (a_x + b_x)i + (a_y + b_y)j + (a_z + b_z)k
R = (4 – 1)i + ( –3 + 1)j + (1 + 4)k
R = 3i – 2j + 5k

(b) a – b
R = a – b
R = (a_x – b_x)i + (a_y – b_y)j + (a_z – b_z)k
R = (4 – (–1)i + ( –3 – 1)j + (1 – 4)k
R = 5i – 4j – 3k

(c) a – b + c = 0
a – b + c = 0 (nilai a – b sudah kita hitung dipertanyaan (b))
5i – 4j – 3k + c = 0
c = –5i + 4j + 3k

2) dua buah vektor masing-masing P = 3i – 2j dan Q = –i – 4j dengan metode menggambar dan metode analitis tentukan besar dan arah dari (a) R = P + Q, (b) R = P – Q.

pembahasan soal:

Metode menggambar
Pertama-tama kita gambar dahulu vektor P dan Q (gambar a), dengan metode poligon kita dapat menentukan besar R = P + Q (gambar b) dan R = P – Q (gambar c).

Besar dan arah vektor R untuk gambar b

Besar dan arah vektor R untuk gambar c

Metode analitis
Berdasarkan soal dapat kita ketahui bahwa
P = 3i – 2j
Q = –i – 4j

a) R = P + Q
R = P + Q
R = (P_x + Q_x)i + (P_y + Q_y)j
R = (3 + (–1))i + ((–2) + (–4))j
R = 2i – 6 j
Besar resultan

b) R = P - Q
R = P - Q
R = (P_x - Q_x)i + (P_y - Q_y)j
R = (3 - (–1))i + ((–2) - (–4))j
R = 4i + 2 j

3) sebuah pesawat komersial terbang dengan rute seperti ditunjukkan oleh gambar di bawah ini

Jika pertama pesawat terbang mulai dari titik pusat koordinat (0,0) menuju kota A yang berjarak 175 km dalam arah 30⁰ ke timur laut, kemudian terbang lagi 1530 ke arah 200 barat laut menuju kota B dan terkahir terbang 195 km ke barat menuju kota C. Tentukan lokasi kota C relatif terhadap titik awal!

pembahasan soal:

Berdasarkan gambar di atas, untuk menentukan letak kota C dari pusat koordinat kita buat tiga perpindahan dari pesawat tersebut yakni a, b, dan c. Vektor komponen dari ketiga perpindahan tersebut dapat terlihat pada tabel di bawah ini

Dalam vektor komponen, maka lokasi kota C terhadap titik pusat koordinat adalah R = (-95,3i + 232j) km yang berarti pesawat dapat menuju ke kota C dari titik awal keberangkatan dengan menempuh jarak 95,3 km ke barat kemudian 232 km ke utara.

4) seorang pemburu harta karun membawa peta, meteran panjang, sekop, dan kompas untuk mencari sebuah harta karun yang hilang. Ia mengikuti instruksi dan berjalan sejauh 72,4 m (32⁰ ke arah timur laut) kemudian 57,3 m (36⁰ ke arah barat daya) dan 17,8 m ke arah selatan kemudian mulai menggali harta karun tersebut. berdasarkan ilustrasi di atas, tentukan besar dan arah perpindahan yang dilakukan oleh pemburu harta karun tersebut dari titik asal ke tempat harta karun ditemukan!

pembahasan soal:

Perpindahan yang dialami oleh pemburu harta karun tersebut merupakan resultan vektor dari setiap perjalanan yang dilaluinya, untuk itu pertama-tama kita ilustrasikan gerakan dari pemburu harta karun tersebut dalam koordinat kartesius seperti gambar berikut

Kemudian untuk mempermudah menentukan komponen masing-masing, kita dapat memproyeksikannya ke dalam sumbu x dan sumbu y (perhatikan arahnya untuk menentukan nilainya positif atau negatif). Maka komponen vektornya dapat ditentukan sebagai berikut

Besar resultan vektor perpindahannya

Tanda negatif menunjukkan sudut yang terbentuk diukur dari barat ke resultan vektornya, jika diukur dari timur maka arah perpindahannya adalah 180⁰ – 51⁰ = 129⁰ atau 39⁰ jika diukur dari arah utara

Pengaruh perubahan sumbu koordinat terhadap vektor

Penjelasan yang telah dilakukan selama ini vektor dengan sumbu koordinat yang tetap yakni garis horizontal sebagai sumbu x dan garis vertikal sebagai sumbu y. Bagaimana jika suhu koordinat tidak tepat terhadap garis vertikal dan garis horizontal? Atau ketika sumbu koordinatnya berputar dengan sudut tertentu? Sekarang mari kita analisis untuk sumbu koordinat yang tidak tepat di garis vertikal dan garis horizontal.

Gambar 17. (a) vektor P diproyeksi terhadap sumbu (x,y), (b) vektor P diproyeksi terhadap sumbu (x’, y’) yang memiliki sudut sebesar ϕ terhadap koordinat awal

Gambar 17a menunjukkan vektor P dan komponennya terhadap sumbu (x, y) yakni Pxi dan Pyj yang tegak lurus vertikal dan horizontal. Jika kemudian sumbu koordinatnya diputar dengan sudut ϕ terhadap sumbu x sehingga sumbu koordinatnya menjadi x’ dan y’ maka vektor P memiliki komponen vektor yang baru yakni P’xi dan P’yj. Kedua nilai komponen ini sama benarnya tergantung pada sumbu koordinat yang dipakai, oleh karena itu dalam persamaan matematis dapat ditulis sebagai berikut

Berdasarkan penjelasan di atas, maka dapat dikatakan bahwa kita dapat memilih sumbu koordinat secara bebas, karena hubungan antar vektor tidak bergantung pada lokasi asal atau sumbu koordinat tertentu.

Contoh soal
Perhatikan gambar berikut

Sebuah vektor a yang besarnya 18 m memiliki arah sebesar θ (θ=60⁰) berlawanan arah jarum jam dengan sumbu +x. (a) Tentukan vektor komponen ax dan ay (b) jika sumbu koordinat diputar sebesar θ’ (θ’=15⁰) maka tentukan vektor komponen a’x dan a’y !

pembahasan soal:

a) sumbu koordinat (x-y)
a_x = a cos θ
a_x = 18 cos 60⁰
a_x = 18 (0,5)
a_x = 9i
a_y = a sin θ
a_y = 18 sin 60⁰
a_y = 18 (0,5 √3)
a_y = 9√3j

b) sumbu koordinat (x’-y’)
tentukan dulu sudut antara sumbu x’ dengan vektor a (misalkan sudut ϕ)
ϕ = θ – θ’
ϕ = 60⁰ – 15⁰
ϕ = 45⁰
maka vektor komponennya
a’_x = a cos θ
a’_x = 18 cos (45⁰)
a’_x = 18 (0,5 √2)
a’_x = 9√2i

a’_y = a sin θ
a’_y = 18 sin (45⁰)
a’_y = 18 (0,5 √2)
a’_y = 9√2i

pembuktian:

Demikian penjelasan tentang materi vektor untuk fisika kelas 10 semoga bermanfaat, jika ada yang perlu didiskusikan bisa tinggalkan komentar di bawah.bagi yang merasa kesulitan dalam mehamami materi fisika bisa baca tutorial belajar fisika agar semakin paham setelah itu silahkan dicoba untuk mengerjakan soal latihan fisika materi vektor

baca juga : 

materi fisika kelas 10 : impuls dan momentum,

materi fisika kelas 10 :  kinematika gerak lurus

latihan soal fisika materi kinematika gerak lurus
filosofi fisika : gerakmu makna hidupmu

Sumber :

Homer, D., Jones, M. B. 2014 edition Phycics course companion. Oxford University press. 2014

Resnick, R., Halliday, D., Walker, J. Fundamentals of Physics, 10th ed., John Wiley & Sons, Inc. 2014

Serway, R. A., Faughn, J. S. Holt Physics. Holt. 2006

Wolfson, R. Essential university physics 2nd ed. Pearson education, Inc.2012

Young, H. D., Freedman, R. A. Sears ana Zemansky’s university physics : with modern physics 13th ed., Pearson education, Inc.2012